Собеседования квантов в торговых компаниях и хедж-фондах проверяют, как вы рассуждаете о неопределенности под давлением времени. В большинстве раундов сочетаются задачи на вероятность, игры с математическим ожиданием, устный счет, немного статистики, а также несколько вопросов про опционы или код. Ниже 21 вопрос с разобранными ответами. Все числа здесь проверены точной арифметикой или симуляцией перед публикацией.
Что проверяют на квант-собеседованиях
| Раунд | Как выглядит | Что оценивают |
|---|---|---|
| Вероятность и головоломки | Кости, монеты, карты, условная вероятность | Правильно ли вы строите задачу и сохраняете ли спокойствие |
| Математическое ожидание и ставки | Игры, где нужно решить, играть ли, остановиться или определить размер ставки | Принятие решений, а не только арифметику |
| Устный счет и маркет-мейкинг | Быстрая арифметика, котировка двусторонней цены | Скорость и то, как вы пересматриваете оценку, когда ошибаетесь |
| Статистика | Регрессия, корреляция, p-значения, переобучение | Не обманываете ли вы себя данными |
| Финансы | Основы опционов для торговых ролей | Интуицию больше, чем формулы |
| Программирование | Python или C++, короткие задачи | Чистый и правильный код |
Роли трейдера и исследователя оценивают эти разделы по-разному. Торговые собеседования опираются на первые три строки. Исследовательские уделяют больше времени статистике и коду.
Вопросы на вероятность
1. Вы бросаете два кубика. Какова вероятность, что сумма равна 7?
Всего 36 равновероятных исходов, и шесть из них дают в сумме 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Вероятность равна 6/36 = 1/6.
Частый уточняющий вопрос: а какова вероятность суммы 10 или больше? Исходы (4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6) тоже дают 6 из 36, то есть 1/6.
2. В семье двое детей, и хотя бы один из них мальчик. Какова вероятность, что оба мальчики?
Перечислим равновероятные случаи: мальчик-мальчик, мальчик-девочка, девочка-мальчик, девочка-девочка. Условие «хотя бы один мальчик» исключает девочка-девочка и оставляет три случая. Один из них мальчик-мальчик, значит, ответ 1/3.
Интервьюеры используют эту задачу, чтобы проверить, не отвечаете ли вы сразу 1/2. Если бы вопрос звучал «старший ребенок мальчик», ответ был бы 1/2, потому что остаются только мальчик-мальчик и мальчик-девочка.
3. Задача Монти Холла: стоит ли менять выбор?
Вы выбираете одну из трех дверей. Ведущий, который знает, где машина, открывает другую дверь, показывая козу, и предлагает поменять выбор. Меняйте. Ваш первый выбор верен в 1/3 случаев, и действия ведущего этого не меняют. В остальных 2/3 случаев машина за оставшейся дверью. Смена выбора выигрывает в 2/3 случаев.
4. Сколько человек нужно в комнате, чтобы шанс, что у двоих совпадет день рождения, был больше 50%?
Работайте с дополнением. Вероятность, что у n людей все дни рождения разные, равна (365/365) × (364/365) × ... × ((365 − n + 1)/365). При 22 людях шанс совпадения 47.6%. При 23 это 50.7%. Ответ: 23.
5. Болезнь встречается у 1% людей. Тест обнаруживает 99% реальных случаев и дает ложноположительный результат в 5% случаев. Вы получили положительный результат. Какова вероятность, что вы больны?
Используйте правило Байеса на 10,000 людей. Больны 100 человек, и у 99 из них тест положительный. Здоровы 9,900 человек, и у 5%, то есть у 495, тест тоже положительный. Из 594 положительных результатов реальных случаев 99: 99/594 = 1/6, примерно 16.7%.
Суть в том, что редкое заболевание даже при хорошем тесте дает в основном ложноположительные результаты.
6. Вы вытягиваете из колоды пять карт. Какова вероятность, что среди них хотя бы один туз?
Снова дополнение. Число пятикарточных раздач без тузов равно C(48,5) из C(52,5) всех возможных. Вероятность отсутствия тузов 65.9%, значит, хотя бы один туз 34.1%.
7. Вы ломаете палочку в двух случайных точках. Какова вероятность, что три куска образуют треугольник?
Три отрезка образуют треугольник, только если ни один кусок не длиннее половины палочки. Вероятность равна 1/4. Быстрое рассуждение: шанс, что конкретный кусок больше половины, равен 1/4, больше одного куска быть больше половины не может, а кусков три, поэтому шанс, что какой-то кусок слишком длинный, равен 3/4.
Задачи на математическое ожидание
8. Сколько бросков монеты в среднем нужно до первого орла? До двух орлов подряд?
Первый орел: каждый бросок успешен с вероятностью 1/2, поэтому ожидаемое число равно 2.
Два орла подряд: пусть E это искомый ответ. Если первый бросок решка (вероятность 1/2), вы потратили один бросок и начинаете заново. Если орел, затем решка (1/4), вы потратили два и начинаете заново. Если орел, затем орел (1/4), вы закончили за два. Поэтому E = 1/2 × (1 + E) + 1/4 × (2 + E) + 1/4 × 2, что дает E = 6.
Уточнение: последовательность орел, затем решка занимает в среднем всего 4 броска. После первого орла прогресс нельзя потерять: лишние орлы лишь продлевают ожидание решки.
9. Сколько бросков кубика нужно в среднем, чтобы увидеть все шесть граней?
Это задача о коллекционере купонов. Когда вы уже видели k граней, шанс получить новую равен (6 − k)/6, поэтому среднее ожидание равно 6/(6 − k). Сложите: 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 = 14.7 броска.
10. Вы бросаете кубик и выигрываете в долларах столько, сколько выпало. Одну переброску можно сделать. Сколько стоит эта игра?
Один бросок стоит 3.5. Поэтому оставьте 4, 5 или 6 и перебросьте 1, 2 или 3. В половине случаев вы оставляете в среднем 5, а в половине берете переброс, который стоит 3.5: 0.5 × 5 + 0.5 × 3.5 = 4.25.
Если разрешены две переброски, игра после первого броска стоит 4.25, поэтому теперь оставляйте только 5 или 6: (2/6) × 5.5 + (4/6) × 4.25 = 4.67.
11. Чему равно математическое ожидание большего из двух кубиков?
Максимум не превышает k в k² из 36 исходов, поэтому он в точности равен k в k² − (k − 1)² = 2k − 1 исходах. Математическое ожидание равно (1×1 + 2×3 + 3×5 + 4×7 + 5×9 + 6×11)/36 = 161/36, примерно 4.47.
12. У вас $3. В каждом раунде вы выигрываете или проигрываете $1, подбрасывая честную монету. Игра заканчивается при $0 или $10. Какой шанс дойти до $10?
Для честной игры ожидаемое богатство не меняется, поэтому 10 × p + 0 × (1 − p) = 3 и p = 3/10.
Следующий вопрос: сколько в среднем длится игра? Для честного блуждания, которое начинается с k при барьерах 0 и N, ожидаемое число раундов равно k × (N − k) = 3 × 7 = 21.
13. Монета выпадает орлом в 60% случаев и платит один к одному. Какую долю банкролла ставить в каждом раунде?
Ставка всем банком максимизирует математическое ожидание одного раунда, но за много раундов почти гарантирует разорение. Критерий Kelly максимизирует темп роста в долгосрочной перспективе. Для ставки один к одному он предписывает ставить 2p − 1 банка, то есть 2 × 0.6 − 1 = 20%.
Хороший ответ добавит, что многие трейдеры ставят меньше, чем по Kelly, потому что истинная вероятность никогда не известна точно, а чрезмерная ставка обходится дорого.
Устный счет и маркет-мейкинг
14. Чему равно 17 × 23?
Ищите структуру. 17 × 23 = (20 − 3)(20 + 3) = 400 − 9 = 391. Интервьюера интересует, есть ли у вас метод, и проговариваете ли вы его вслух. Тренируйте умножение двузначных чисел, перевод дробей в десятичные и проценты, пока это не станет быстрым.
15. Сделайте мне рынок по сумме трех кубиков
Вас просят назвать цену покупки и цену продажи. Начните с математического ожидания: 3 × 3.5 = 10.5. Стандартное отклонение одного кубика примерно 1.71, а для трех кубиков примерно 2.96, так что вокруг середины есть реальный разброс.
Разумная котировка: «10 на 11». Если интервьюер покупает по 11, спросите себя, что он может знать, и поднимите следующую котировку. Проверяется, быстро ли вы котируете вокруг разумной справедливой цены, держите ли разумный спред и корректируете ли цену после сделок, вместо того чтобы защищать первую цифру.
Вопросы по статистике
16. Корреляция между A и B равна 0.8, а между B и C равна 0.8. Какой может быть корреляция между A и C?
Она не обязательно высокая. Границы: ρ(A,B) × ρ(B,C) ± √((1 − ρ(A,B)²)(1 − ρ(B,C)²)), то есть 0.64 ± 0.36. Значит, корреляция между A и C может быть где угодно от 0.28 до 1.
17. Стратегия имеет среднюю дневную доходность 0.05% и дневное стандартное отклонение 1%. Чему равен ее годовой коэффициент Sharpe?
Дневной коэффициент Sharpe равен 0.05/1 = 0.05 без учета безрисковой ставки. Считая дневные доходности независимыми и 252 торговых дня, среднее масштабируется пропорционально времени, а стандартное отклонение пропорционально корню из времени, поэтому умножьте на √252, примерно 15.9. Годовой коэффициент Sharpe равен примерно 0.79.
Проговорите это предположение вслух. Автокоррелированные доходности делают такое масштабирование неверным.
18. Что такое p-значение и почему так много бэктестов выглядят лучше, чем они есть?
p-значение это вероятность получить результат не менее экстремальный, чем ваш, если нулевая гипотеза верна. Это не вероятность того, что гипотеза верна.
Бэктесты выглядят слишком хорошо по нескольким причинам. Если протестировать 100 стратегий, около 5 случайно пройдут тест значимости на уровне 5%. Смещение заглядывания в будущее использует информацию, которой в тот момент не было. Смещение выживших отбрасывает компании, которые провалились. А параметры, подобранные на тех же данных, на которых проводится оценка, подстраиваются под шум. Хорошие ответы упоминают тестирование на выборке вне обучения (out-of-sample), поправку на число проверок и реалистичные торговые издержки.
Вопросы по опционам
19. Что такое паритет put-call?
Для европейских опционов на акцию, которая не платит дивиденды, с одинаковым страйком K и одинаковым сроком T: C − P = S − K × e^(−rT). Разность колла и пута имеет ту же выплату, что владение акцией и обязательство заплатить страйк при экспирации.
Пример: акция стоит 100, страйк 100, ставка 5%, до экспирации один год. Текущая стоимость страйка равна 95.12. Если колл торгуется по 10.45, то пут должен стоить 10.45 − 100 + 95.12 = 5.57. Любая другая цена дает арбитраж.
20. Объясните дельту, гамму и вегу
Дельта показывает, насколько меняется цена опциона при изменении цены акции на 1. Дельта колла лежит от 0 до 1. У колла at-the-money дельта близка к 0.5 и немного выше, когда ставки и время до экспирации велики. В примере выше при волатильности 20% она примерно 0.64.
Гамма показывает, насколько быстро меняется дельта при движении акции. Она максимальна у опционов at-the-money близко к экспирации.
Вега показывает, насколько меняется цена при изменении подразумеваемой волатильности. Колл и пут дорожают при росте волатильности, а опционы с более длинным сроком имеют большую вегу.
Задача по программированию
21. Напишите функцию, которая возвращает максимальную просадку ценового ряда
Максимальная просадка это наибольшее падение от пика до последующего минимума, выраженное долей от пика. Отслеживайте наивысшую цену на текущий момент и самое большое падение от нее за один проход.
def max_drawdown(prices):
peak = prices[0]
worst = 0.0
for p in prices:
if p > peak:
peak = p
drawdown = (peak - p) / peak
if drawdown > worst:
worst = drawdown
return worst
print(max_drawdown([100, 120, 90, 110, 80, 130])) # 0.3333333333333333
Ответ 33.3%, то есть падение с 120 до 80. Функция работает за O(n) по времени и с O(1) дополнительной памяти. Мы проверили ее против наивной версии, которая перебирает все пары дней, на 2,000 случайных рядах. Для дополнительной практики смотрите наши вопросы по Python на собеседовании и шпаргалку по Big O.
Как готовиться
- Отработайте классические задачи до автоматизма: условную вероятность, математическое ожидание через рекурсию и трюк с дополнением.
- Тренируйте устный счет каждый день в течение нескольких недель. Скорость здесь можно натренировать.
- Проговаривайте каждую задачу вслух. Интервьюеры оценивают рассуждение, и неправильный ответ с ясной логикой часто засчитывается.
- Когда застряли, попробуйте упрощенный случай. Две двери, два кубика, палочка, сломанная один раз.
- Для торговых ролей тренируйте котирование рынков с другом и пересматривайте свою котировку после каждой сделки.
- Подготовьте и свою историю. Фирмы все равно спрашивают, почему торговля или исследования и что вы уже сделали. Наш гид расскажите о себе поможет с этой частью.
Если вы проходите собеседования в торговых компаниях, посмотрите также наши заметки о онлайн-тесте DRW. Для банковских ролей вопросы на собеседовании в инвестбанке охватывают другой набор тем.
Тренируйте вслух объяснение своих рассуждений
YesToTheOffer расшифровывает ваши ответы, чтобы вы могли увидеть, где в объяснении была ошибка. Помощь с кодом по скриншотам на скорости 0.2x. 30 бесплатных минут, без подписки.
