क्वांट इंटरव्यू प्रश्न और उत्तर (2026): प्रायिकता, ब्रेनटीज़र और ऑप्शन्स

ट्रेडिंग फ़र्मों और हेज फ़ंडों के क्वांट इंटरव्यू यह परखते हैं कि आप समय के दबाव में अनिश्चितता के बारे में कैसे सोचते हैं। ज़्यादातर राउंड में प्रायिकता की पहेलियाँ, अपेक्षित मान वाले खेल, मेंटल मैथ, थोड़ी सांख्यिकी, और ऑप्शन्स या कोड पर कुछ प्रश्न मिले होते हैं। नीचे हल किए गए उत्तरों के साथ 21 क्वांट इंटरव्यू प्रश्न दिए गए हैं। यहाँ की हर संख्या को प्रकाशित करने से पहले सटीक गणना या सिमुलेशन से जाँचा गया है।

क्वांट इंटरव्यू में क्या परखा जाता है

ट्रेडर और रिसर्चर की भूमिकाओं में इन पर ज़ोर अलग होता है। ट्रेडिंग इंटरव्यू पहली तीन पंक्तियों पर ज़्यादा टिके होते हैं। रिसर्च इंटरव्यू में सांख्यिकी और कोड पर ज़्यादा समय लगता है।

प्रायिकता के प्रश्न

1. आप दो पासे फेंकते हैं। योग 7 आने की प्रायिकता क्या है?

36 बराबर संभावित परिणाम हैं, और इनमें से छह का योग 7 है: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)। प्रायिकता 6/36 = 1/6 है।

एक आम अगला सवाल: योग 10 या उससे ज़्यादा होने की प्रायिकता क्या है? परिणाम हैं (4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6), जो 36 में से फिर 6 हैं, इसलिए 1/6।

2. एक परिवार में दो बच्चे हैं, और कम से कम एक लड़का है। दोनों लड़के होने की प्रायिकता क्या है?

बराबर संभावित मामलों की सूची बनाइए: लड़का-लड़का, लड़का-लड़की, लड़की-लड़का, लड़की-लड़की। "कम से कम एक लड़का" से लड़की-लड़की हट जाता है और तीन मामले बचते हैं। इनमें से एक लड़का-लड़का है, इसलिए उत्तर 1/3 है।

इंटरव्यूअर यह देखने के लिए यह सवाल पूछते हैं कि आप सीधे 1/2 पर तो नहीं पहुँच जाते। अगर सवाल "बड़ा बच्चा लड़का है" होता, तो उत्तर 1/2 होता, क्योंकि तब केवल लड़का-लड़का और लड़का-लड़की बचते।

3. Monty Hall समस्या: क्या आपको दरवाज़ा बदलना चाहिए?

आप तीन दरवाज़ों में से एक चुनते हैं। मेज़बान, जिसे पता है कि कार कहाँ है, एक और दरवाज़ा खोलकर बकरी दिखाता है और आपको बदलने का विकल्प देता है। बदल लीजिए। आपका पहला चुनाव 1/3 समय सही होता है, और मेज़बान के कदम से यह नहीं बदलता। बाकी 2/3 समय कार बचे हुए दरवाज़े के पीछे होती है। बदलने से 2/3 समय जीत मिलती है।

4. कमरे में कितने लोग होने चाहिए ताकि किन्हीं दो का जन्मदिन एक ही होने की संभावना 50% से ज़्यादा हो?

पूरक (complement) से काम कीजिए। n लोगों के जन्मदिन सब अलग होने की संभावना है (365/365) × (364/365) × ... × ((365 − n + 1)/365)। 22 लोगों के साथ मेल की संभावना 47.6% है। 23 के साथ यह 50.7% है। उत्तर 23 है।

5. एक बीमारी 1% लोगों को होती है। एक टेस्ट असली मामलों के 99% को पकड़ता है और 5% समय झूठा पॉज़िटिव देता है। आपका टेस्ट पॉज़िटिव आता है। आपको बीमारी होने की संभावना क्या है?

10,000 लोगों के साथ Bayes' rule लगाइए। 100 को बीमारी है और उनमें से 99 का टेस्ट पॉज़िटिव आता है। 9,900 को बीमारी नहीं है, और उनमें से 5%, यानी 495, फिर भी पॉज़िटिव आते हैं। 594 पॉज़िटिव में से 99 असली हैं: 99/594 = 1/6, यानी लगभग 16.7%।

मुद्दा यह है कि दुर्लभ बीमारी में अच्छे टेस्ट के बावजूद ज़्यादातर पॉज़िटिव झूठे होते हैं।

6. आप ताश की गड्डी से पाँच पत्ते निकालते हैं। कम से कम एक इक्का आने की प्रायिकता क्या है?

फिर से पूरक। बिना इक्के वाले पाँच-पत्तों के हाथों की संख्या C(48,5) है, कुल C(52,5) में से। बिना इक्के की प्रायिकता 65.9% है, इसलिए कम से कम एक इक्का 34.1% है।

7. आप एक छड़ी को दो यादृच्छिक बिंदुओं पर तोड़ते हैं। तीनों टुकड़े त्रिभुज बनाने की प्रायिकता क्या है?

तीन लंबाइयाँ तभी त्रिभुज बनाती हैं जब कोई टुकड़ा छड़ी की आधी लंबाई से ज़्यादा न हो। प्रायिकता 1/4 है। तेज़ तर्क: किसी एक खास टुकड़े के आधे से बड़े होने की संभावना 1/4 है, आधे से बड़ा टुकड़ा एक से ज़्यादा नहीं हो सकता, और टुकड़े तीन हैं, इसलिए कोई टुकड़ा ज़रूरत से लंबा होने की संभावना 3/4 है।

अपेक्षित मान के प्रश्न

8. पहला हेड आने तक सिक्के कितनी बार उछालने की अपेक्षा है? लगातार दो हेड आने तक?

पहला हेड: हर उछाल की सफलता की प्रायिकता 1/2 है, इसलिए अपेक्षित संख्या 2 है।

लगातार दो हेड: मान लीजिए उत्तर E है। अगर पहला उछाल टेल है (प्रायिकता 1/2), तो एक उछाल खर्च हुआ और फिर से शुरुआत होती है। अगर हेड के बाद टेल है (1/4), तो दो उछाल खर्च हुए और फिर से शुरुआत होती है। अगर हेड के बाद हेड है (1/4), तो दो में काम पूरा हो गया। इसलिए E = 1/2 × (1 + E) + 1/4 × (2 + E) + 1/4 × 2, और इससे E = 6 मिलता है।

अगला सवाल: हेड के बाद टेल आने में औसतन सिर्फ़ 4 उछाल लगते हैं। पहला हेड आने के बाद आपकी प्रगति खोती नहीं: और हेड आने से आप बस टेल आने का इंतज़ार ही करते रहते हैं।

9. पासे के सभी छह फलक देखने से पहले कितनी बार फेंकने की अपेक्षा है?

यह कूपन कलेक्टर समस्या (coupon collector problem) है। k फलक देखने के बाद नया फलक आने की संभावना (6 − k)/6 है, इसलिए अपेक्षित प्रतीक्षा 6/(6 − k) है। इन्हें जोड़िए: 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 = 14.7 बार फेंकना।

10. आप पासा फेंकते हैं और जो संख्या आती है उतने डॉलर जीतते हैं। आप एक बार फिर से फेंक सकते हैं। इस खेल की कीमत क्या है?

एक बार फेंकने की कीमत 3.5 है। इसलिए 4, 5 या 6 रखिए, और 1, 2 या 3 आने पर फिर से फेंकिए। आधे समय आपके पास औसतन 5 रहता है, और आधे समय आप फिर से फेंकने का दांव लेते हैं जिसकी कीमत 3.5 है: 0.5 × 5 + 0.5 × 3.5 = 4.25।

अगर दो बार फिर से फेंकने की छूट हो, तो पहली फेंक के बाद खेल की कीमत 4.25 होती है, इसलिए अब आप केवल 5 या 6 रखते हैं: (2/6) × 5.5 + (4/6) × 4.25 = 4.67।

11. दो पासों में से बड़े की अपेक्षित मान क्या है?

अधिकतम मान k या उससे कम होना 36 में से k² परिणामों में होता है, इसलिए वह ठीक k होता है k² − (k − 1)² = 2k − 1 परिणामों में। अपेक्षित मान है (1×1 + 2×3 + 3×5 + 4×7 + 5×9 + 6×11)/36 = 161/36, यानी लगभग 4.47।

12. आपके पास $3 हैं। हर दौर में आप एक निष्पक्ष सिक्के के उछाल पर $1 जीतते या हारते हैं। आप $0 या $10 पर रुकते हैं। $10 तक पहुँचने की संभावना क्या है?

निष्पक्ष खेल में आपकी अपेक्षित संपत्ति नहीं बदलती, इसलिए 10 × p + 0 × (1 − p) = 3 और p = 3/10।

अगला सवाल यह हो सकता है कि खेल औसतन कितनी देर चलता है। 0 और N पर सीमाओं वाली निष्पक्ष चाल में, जो k से शुरू होती है, दौरों की अपेक्षित संख्या k × (N − k) = 3 × 7 = 21 है।

13. एक सिक्का 60% समय हेड आता है और बराबर का भुगतान देता है। हर दौर में आपको अपनी पूँजी का कितना हिस्सा दाँव पर लगाना चाहिए?

सब कुछ दाँव पर लगाने से एक दौर का अपेक्षित मान तो अधिकतम होता है, पर कई दौरों में बरबादी तय है। Kelly criterion लंबे समय की वृद्धि दर को अधिकतम करता है। बराबर भुगतान वाले दाँव के लिए यह कहता है कि अपनी पूँजी का 2p − 1 दाँव पर लगाएँ, जो 2 × 0.6 − 1 = 20% है।

एक अच्छा उत्तर यह भी जोड़ता है कि कई ट्रेडर Kelly से कम दाँव लगाते हैं, क्योंकि असली प्रायिकता कभी पूरी तरह पता नहीं होती, और ज़्यादा दाँव लगाना महँगा पड़ता है।

मेंटल मैथ और मार्केट मेकिंग

14. 17 × 23 क्या है?

ढाँचा ढूँढिए। 17 × 23 = (20 − 3)(20 + 3) = 400 − 9 = 391। इंटरव्यूअर इस पर ध्यान देते हैं कि आपके पास कोई तरीका है और आप उसे ज़ोर से बोलते हैं। दो अंकों का गुणा, भिन्न से दशमलव, और प्रतिशत तब तक अभ्यास करें जब तक वे तेज़ न हो जाएँ।

15. तीन पासों के योग पर मुझे एक बाज़ार (मार्केट) बनाकर दीजिए

आपसे बोली (bid) और भाव (offer) माँगा जाता है। अपेक्षित मान से शुरू कीजिए: 3 × 3.5 = 10.5। एक पासे का मानक विचलन लगभग 1.71 है, और तीन पासों का लगभग 2.96, इसलिए बीच के आस-पास असली फैलाव रहता है।

एक ठीक-ठाक भाव है "10 at 11।" अगर इंटरव्यूअर 11 पर खरीदता है, तो खुद से पूछिए कि उसे क्या पता हो सकता है, और अगला भाव ऊपर कीजिए। परख यह है कि आप एक समझदार उचित मान के आस-पास तेज़ी से भाव दें, फ़ासला उचित रखें, और अपने पहले अंक का बचाव करने की बजाय सौदों के बाद बदलाव करें।

सांख्यिकी के प्रश्न

16. A और B के बीच सहसंबंध 0.8 है, और B और C के बीच भी 0.8 है। A और C के बीच सहसंबंध क्या हो सकता है?

यह ज़्यादा होना ज़रूरी नहीं है। सीमाएँ हैं ρ(A,B) × ρ(B,C) ± √((1 − ρ(A,B)²)(1 − ρ(B,C)²)), जो 0.64 ± 0.36 है। तो A और C के बीच सहसंबंध 0.28 से 1 तक कहीं भी हो सकता है।

17. एक रणनीति का दैनिक औसत रिटर्न 0.05% और दैनिक मानक विचलन 1% है। इसका वार्षिक Sharpe ratio क्या है?

जोखिम-मुक्त दर को छोड़कर, दैनिक Sharpe ratio 0.05/1 = 0.05 है। मानकर कि दैनिक रिटर्न स्वतंत्र हैं और साल में 252 ट्रेडिंग दिन हैं, औसत समय के साथ बढ़ता है और मानक विचलन उसके वर्गमूल के साथ, इसलिए √252 से गुणा कीजिए, जो लगभग 15.9 है। वार्षिक Sharpe ratio लगभग 0.79 है।

यह मान्यता ज़ोर से कहिए। ऑटोकोरिलेटेड रिटर्न हों तो यह स्केलिंग गलत हो जाती है।

18. p-value क्या है, और इतने सारे बैकटेस्ट असल से बेहतर क्यों दिखते हैं?

p-value वह प्रायिकता है कि अगर शून्य परिकल्पना सच हो, तो आपके परिणाम जितना या उससे ज़्यादा चरम परिणाम देखा जाए। यह परिकल्पना के सच होने की प्रायिकता नहीं है।

बैकटेस्ट कई कारणों से ज़रूरत से ज़्यादा अच्छे दिखते हैं। अगर आप 100 रणनीतियाँ परखते हैं, तो लगभग 5 संयोग से 5% सार्थकता परीक्षण पास कर जाएँगी। लुकअहेड बायस ऐसी जानकारी इस्तेमाल करता है जो उस समय उपलब्ध नहीं थी। सर्वाइवरशिप बायस उन कंपनियों को हटा देता है जो असफल हुईं। और उसी डेटा पर ट्यून किए गए पैरामीटर, जिस पर मूल्यांकन होता है, शोर में फ़िट हो जाते हैं। अच्छे उत्तर आउट-ऑफ़-सैंपल परीक्षण, परीक्षणों की संख्या के लिए सुधार, और वास्तविक ट्रेडिंग लागत का ज़िक्र करते हैं।

ऑप्शन्स के प्रश्न

19. put-call parity क्या है?

बिना लाभांश वाले स्टॉक के यूरोपीय ऑप्शन्स के लिए, एक ही स्ट्राइक K और एक्सपायरी T पर: C − P = S − K × e^(−rT)। कॉल घटा पुट का वही पेऑफ़ होता है जो स्टॉक रखने और एक्सपायरी पर स्ट्राइक प्राइस चुकाने की देनदारी का होता है।

उदाहरण: स्टॉक 100 पर है, स्ट्राइक 100 है, ब्याज दर 5% है, और एक्सपायरी एक साल दूर है। स्ट्राइक का वर्तमान मूल्य 95.12 है। अगर कॉल 10.45 पर ट्रेड हो रहा है, तो पुट की कीमत 10.45 − 100 + 95.12 = 5.57 होनी चाहिए। कोई और भाव आर्बिट्राज है।

20. डेल्टा, गामा और वेगा समझाइए

डेल्टा बताता है कि स्टॉक 1 बदलने पर ऑप्शन का भाव कितना बदलता है। कॉल का डेल्टा 0 से 1 के बीच होता है। एट-द-मनी कॉल का डेल्टा 0.5 के आस-पास होता है, और जब ब्याज दरें और एक्सपायरी तक का समय ज़्यादा हो तो थोड़ा ज़्यादा। ऊपर के उदाहरण में, 20% अस्थिरता के साथ, यह लगभग 0.64 है।

गामा बताता है कि स्टॉक के हिलने पर डेल्टा कितनी तेज़ी से बदलता है। यह एक्सपायरी के करीब के एट-द-मनी ऑप्शन्स के लिए सबसे ज़्यादा होता है।

वेगा बताता है कि इम्प्लाइड अस्थिरता बदलने पर भाव कितना बदलता है। अस्थिरता बढ़ने पर कॉल और पुट दोनों का मूल्य बढ़ता है, और लंबी अवधि के ऑप्शन्स का वेगा ज़्यादा होता है।

कोडिंग प्रश्न

21. एक ऐसा फ़ंक्शन लिखिए जो प्राइस श्रृंखला का अधिकतम ड्रॉडाउन लौटाए

अधिकतम ड्रॉडाउन शिखर से बाद के निचले स्तर तक की सबसे बड़ी गिरावट है, जो शिखर के अंश के रूप में होती है। एक ही पास में अब तक की सबसे ऊँची कीमत और उससे सबसे बुरी गिरावट का हिसाब रखिए।

def max_drawdown(prices):
    peak = prices[0]
    worst = 0.0
    for p in prices:
        if p > peak:
            peak = p
        drawdown = (peak - p) / peak
        if drawdown > worst:
            worst = drawdown
    return worst

print(max_drawdown([100, 120, 90, 110, 80, 130]))  # 0.3333333333333333

उत्तर 33.3% है: 120 से 80 तक की गिरावट। यह फ़ंक्शन O(n) समय में और O(1) अतिरिक्त जगह में चलता है। हमने इसे एक ब्रूट-फ़ोर्स संस्करण से जाँचा, जो 2,000 यादृच्छिक श्रृंखलाओं पर दिनों के हर जोड़े को परखता है। और अभ्यास के लिए हमारे Python इंटरव्यू प्रश्न और Big O चीट शीट देखें।

तैयारी कैसे करें

1. क्लासिक सवालों का तब तक अभ्यास करें जब तक सेटअप अपने-आप न होने लगे: सशर्त प्रायिकता, पुनरावृत्ति से अपेक्षित मान, और पूरक की तरकीब।
2. कुछ हफ़्तों तक रोज़ मेंटल मैथ का अभ्यास करें। यहाँ गति को सिखाया जा सकता है।
3. हर सवाल ज़ोर से समझाते हुए हल करें। इंटरव्यूअर तर्क को अंक देते हैं, और साफ़ तर्क वाला गलत उत्तर अक्सर बच निकलता है।
4. अटक जाएँ तो छोटा मामला आज़माइए। दो दरवाज़े, दो पासे, एक बार टूटी छड़ी।
5. ट्रेडिंग भूमिकाओं के लिए किसी दोस्त के साथ मार्केट बनाने का अभ्यास करें, और हर सौदे के बाद अपना भाव अपडेट करें।
6. अपनी कहानी भी तैयार रखें। फ़र्म अब भी पूछते हैं कि आप ट्रेडिंग या रिसर्च क्यों करना चाहते हैं, और आपने क्या बनाया है। इस हिस्से के लिए हमारी अपने बारे में बताइए गाइड मदद करती है।

अगर आप ट्रेडिंग फ़र्मों में इंटरव्यू दे रहे हैं, तो DRW ऑनलाइन असेसमेंट पर हमारे नोट्स भी देखें। बैंक की भूमिकाओं के लिए, इन्वेस्टमेंट बैंकिंग इंटरव्यू प्रश्न विषयों का एक अलग सेट कवर करते हैं।